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輸送現象 ----------

熱平衡状態に加わる摂動( 例えば電界がかかる、密度が傾く、温度変化
等 )は、何らかの変化をおこし、他のキャリアの平衡を乱したり、エネルギ
レベルへのキャリア分布を変えたりする。 また、この摂動に対し緩和する
メカニズムもでてくる。 ここで考察する弱い摂動とは、キャリア分布 fn (ε)
または fp (ε) を変えるがキャリア数n またはp は変えないレベルのものと
する。

  摂動ということばは、量子力学では相互作用の近似方法としてよく使わ
れている。相互作用を示すのに便利な言葉なのでここで使うことにした。

摂動と緩和の競合は、2 つの状態に標準化できる。

遷移システム:
  平衡外からはじまり、摂動がなくなり再び平衡状態へ戻る。
  緩和時間で特徴づけられる。

定常状態システム:
  摂動が続くことで、恒久的に平衡状態からずれる状態。
  Flux(キャリアまたは熱など)Φ で特徴づけられる。

太文字のアルファベットやギリシャ文字はベクトルを表すことにする
キャリアi の速度をVi 輸送量をQi とすると、この場合のFlux は



となる。
表2_1 に、3つの摂動きとそれに対応する Flux, 物理量, およびそれに関連
した現象を示す。

表2_1 
             
     

   は、勾配を表すベクトル演算子。

結晶のバンド構造は電子間、電子フォノン間等の相互作用を無視して周期的
境界条件でシュレディンガー方程式を解くことで 得られる。しかし緩和を
考察する場合はそれらの相互作用が重要な働きをする。 そこで弱い摂動
とはバンド構造は変えないで、その状態間の移動が起こる程度のものとする。

相互作用 ( 衝突、散乱等 ) は、電子の波数ベクトルの初期状態 k から
最終状態 k’へ散乱する単位時間あたりの確率密度で表すことができる。
この確率密度     は注目している相互作用を表す― は、 
Fermi のgolden rule で与えられる。



ここで
      遷移行列要素        相互ポテンシャル 
      ディラックのデルタ関数     最終状態密度 
        初期エネルギー        最終エネルギー 

尚、ディラックのデルタ関数   は、次のような性質を持つ関数である。 



2-2 を可能なすべての最終状態で積分すると、それぞれ相互作用i に関して
状態 の散乱レート および緩和時間 が求められる。 
それぞれ縮退のない状態で下記のように定義される。
         
           
ここで θは    と    の間の角度である。 

一般的に言って、キャリアの相互作用によってこうむる影響は、波数ベクトル
の方向および、非弾性相互作用の場合はそのエネルギを変えることもある。
シリコン中の電子の主要な相互作用は以下の通り


 ○ 電子‐イオン化不純物散乱:

                    散乱レートは    と不純物濃度 Ni  に比例する。
   この相互作用は速度の緩和に影響し、高濃度不純物の場合と低温
   でよく起こる。

 ○ 電子‐フォノン散乱:
   シリコンではこの散乱メカニズムはフォノンの性質により2 つのタイプ
   に分けられる。
  
   ● イントラバレイ アコースティック フォノン:
      弱い波数ベクトル(したがって低エネルギ)である
      アコースティックフォノントとの錯乱。
                    錯乱レートは    に比例する。  
      この作用は波数ベクトル等方変化を起こす準弾性散乱である。
      低エネルギ キャリアの緩和に寄与する。

   ● インターバレイ フォノン散乱:有限で一定のエネルギをもつ大きな
      波数ベクトルを持つアコースティックまたは光学フォノンとの相互
      作用で、X バレイの電子が他のX バレイへ移動する。
                    この非弾性メカニズムの錯乱レートは    に比例する。 
      イントラバレイ フォノンの放出は高エネルギエレクトロンの主要
      緩和プロセスである。


分布関数 ----------

半導体の電子数によってできる系は、ある時間t に逆空間の点k
実空間の点r にある確率を示す分布関数 fk,r,t ) で完全に記述できる。
分布関数を使うと、下記に示すように電子密度 n ( r,t ) のような局所的量
や任意の輸送量( 速度、エネルギ等 ) の全体量A ( r,t ) を決めることが
できる。

                   
                    2-4 

一般的表現 2-1 の Flux は、下記のようになる。

                             2-5 

摂動があると、 は熱平衡状態f0 から有る量f1 だけ変化する、つまり

                                2-6

f0 ( r,k,t ) は、Fermi-Dirac 統計に対応しているので、以下のように表される。

          2-7 

ここで、Ec(r) はポテンシャルエネルギ ( 電子なのでコンダクションバンド
のボトム)、ε(k) 電子の運動エネルギを表す。 ここでの目標は、位相空間
f の展開を決めることである。 位相空間は6 次元空間で、位置と運動量
を座標にとるが、ここでは運動量の変わりに波数ベクトルで考察する。
分布関数には以下の関係がなりたつ。



時間変動に関して Liouville の定理を使い、Flux の分布が以下のように
保存されるとする。



これに衝突がある場合は、



左辺の全微分を実行すると

           
           
                               

    逆格子空間の単位ベクトルをx,y,z とすると 
   なので[2]、

さらに以下のように変形できる。



さらに変形するために F を加えられた力とすると dk/dt = F/h�という関係
があることを示しておく。結晶中の電子の速度は格子振動の角周波数ω
波数で微分すると求まる。
つまり  [3]、更にフォノンのエネルギの変化dεは加えられた 
力と移動した距離の積なので    となり、角周波数と 
エネルギの関係はε= ωħ なので、これらを組み合わせるとx 成分は

         
         
         

となる。また、y、z 成分も同様。 つまり dk/dt = F/h が成り立つ。
したがって、

                      2-8 

を得る。 多くの問題では衝突項   は緩和時間τで扱われる。
定義は以下の通り。

                    2-9           

これと 2-8 を合わせると、緩和時間近似の Boltzmann の輸送方式が
得られる。

      2-10                       

もしも定常状態ならば、定義により    となるので   

                            2-11 

また

                  2-12           

f0 は平衡状態を表すので、Flux は0になり式2-5 のff0+f1 なので、
f1 に変えてよい。すると下のように表せる。

                2-13             

これまで準備で、Boltzmann 方程式を使って電気伝導やキャリアの拡散
係数が計算できるようになった。

  低電界( E < 1 kVcm-1 )での電気伝導

この場合の摂動は静電力 F = ‒qE、輸送量は電荷Q、これらの Flux は
電流密度J になり、2-13 を以下のよう書き直す。

                  2-14           

Boltzmann 方程式を使ってJ を計算するためにここでは、以下の仮定を
設ける。
 (1) 非縮退
 (2) 均一ドーピング、均一温度
 (3) 均一低電界
 (4) 電子は放物線等方エネルギバンドにいる。 
   これはGaAs の場合に対応しているがシリコンへ拡張できる。

仮定(2)により、    となる。 

2-12は下記のように簡略出来る。

                                 2-15

仮定(3)により低電界の場合は f = f0 + 1f0

                   
                             
                           
                             

最後の近似は、       
つまり     と仮定した。  
これを利用して2-15 を変形すると

                        2-16     

電界の方向をx軸に選ぶと、電流密度 2-14 は次のようになる。

                  2-17           

仮定(4)によりエネルギバンドは放物線で等方なので、積分k で行うより
ε で行う方が便利で、さらに低電界の仮定によりキャリアの平均運動
エネルギは平衡状態のままで、方向依存性もない。従って任意の方向の
分布関数を計算するために𝑣
  の平均値を使うと次のように書ける。       

                 

このよう    を    で置き換えると、2-17 は以下のようになる。 



これは、次のように変形できる。

                             
               

これは、次の式になることを意味している。

                            2-18 

さらに便宜的に    と定義する。  <τ> は時間に対して等方的 
だが、厳密には平均時間ではない。 ついでに    とすると   
( 何の根拠もないが、このくらいの摂動にしたとここでは考えた )
2-18 は以下のように書ける。



このEx の以外の部分をσ とおくと�Jx = σEx となり、この式は実は
オームの法則をあらわしていることがわかる。
移動度は、    という関係式の係数μ なのでこれを使い、 
以下に電子およびホールに対応したオームの法則の方程式を示す。

       
                   

       
             2-19

エネルギバンドが異方性(楕円)バレイであるシリコンの場合、緩和時間の
異方性により摂動と輸送 Flux を結びつける係数はスカラーではなく
テンソルになるので、中身が対角成分のみという場合を除いて掛けられた
力に対して、Flux がリニアに変化しなくなる。

しかし、ある輸送係数に関しては、結晶の対称性が、このテンソルを
スカラーとして取り扱えるようにすることができる。これはシリコンの導電性
の場合で、導電性有効質量が使われる。GaAs と同様な導出を6 つの楕円
バンドにさまざま寄与を加えて行うことになるが、緩和時間に等方性近似を
使った結果が、次の式になる。

                                         2-20

mcc は、導電性有効質量と呼ばれ、定義は次の通り。

                                         2-21

ml は longitudinal effective mass、 mt は transverse effective mass を表す


拡散 ----------

拡散の場合、摂動はキャリア濃度の空間勾配になり、輸送量はキャリア
粒子数になる。Flux は、2-13 によると次のようになる。

                       2-22 

キャリアは電荷をもつので、このFlux は電流密度の通り道になる。
このΦ を計算するために次の仮定をする。

 (1) 縮退無、
 (2) 外部からの力はない、
 (3) 分布関数の摂動は弱い、
 (4) 等方性放物バンド構造。

仮定(2)からBoltzmann 方程式2-12 は次ぎのように簡略化できる。

                            2-23 

仮定(1)および(3)により∇rf が以下のようにして計算できるようになる。

                 
                   
                   
                   

  は空間的に変化せず。 
さらに conduction バンドのキャリア濃度は
  であり、これらの関係から 

                   
                 
                 

                     
                     
                     

                   
                   
                   
                   

という関係が導かれるので、

                   
                   

2-23 を一次元解釈すると

                                   2-24

Flux 2-22 は導電性で導いた電流密度とほぼ同じ計算方法で
下記結果が得られる。

                   
                   
                   
                   
                   

この式はフィックの法則を表している、 拡散係数 Dn は、Flux とその原因を
関係づけている。 このように拡散に関連した輸送計数は、アインシュタイン
の関係式で導電現象の特性をもつ移動度と関係づけられる。

                  2-25

電子とホールに対する拡散電流の3D表現は、以下のようになる。

                                     2-26

シリコンの異方性伝導バンドの場合導電性と同じように、拡散係数の表現を
有効質量が2-21 で定義される有効導電質量 mcc で置き換えればよい。
300K のとき、シリコン ( ノンドープ ) の輸送係数の値は以下のようになる。

                   
                   
                   
                   


ドリフト拡散方程式 ----------

電界と濃度勾配が同時に存在する場合は2-19 と2-26 を合わせると以下に
示す方程式が得られる。

                               2-27 


これらはドリフト拡散方程式と呼ばれ、広く半導体デバイスの輸送問題に
使われる。ここで注意する点は、2-27 はバンド間つまりエネルギの変化は
あるが、粒子の移動はない弱い摂動の仮定のもとで導かれたものなので、
この電界E からは起電力が発生しないということである。このことは外部
電圧がかかっていないPN 接合をイメージすると理解しやすい。
電子にしろ、ホールにしろ、明らかに濃度勾配が存在し、電位差も存在する。
それでも電流が生じないのはその動きがそれぞれ反対方向で釣り合って
いるからである。


起電力 ----------

フェルミ準位は統計力学[4]において化学ポテンシャルと言われるもので、
系の粒子の変化に対する自由エネルギの変化の割合を表す。平衡状態の
半導体ではフェルミ準位はホールと電子で同じで、均一である。しかしこれに
外部摂動が加わると平衡状態でない領域ができ、その領域の
化学ポテンシャル、つまりフェルミ準位が電子とホールで異なってくる。
それぞれ下記のように表す。



ここに現れる    及び   は、準フェルミ準位とよばれるが定数ではない。 
  �という関係を使ってこの勾配を計算すると     



この結果をドリフト拡散方程式2-27 に適用すると



  と Einstein の関係式 2-25 を使うと     



                                    2-28 

これらが真の起電力を表している。


飽和(Saturation) ----------

定常状態システムでは、安定した平衡状態に達したときを定常輸送という。
定常速度は一定電界でのキャリアの平均速度であり、これは電界による
加速と格子 ( フォノン ) や不純物との衝突による減速のバランスの結果
である。

移動度の概念は、電界が十分低く(通常1 以下)キャリアの
温度上昇が無視できるという仮定で成り立つものである。
これはキャリアが得たエネルギは衝突で完全に失う事を意味する。
これは電界が数 より高いときは成り立たない。
電子のエネルギ上昇とともに散乱率も上がり移動度を落とすので
キャリア速度は   程度に飽和する(Fig.2.1)。 
急激に電界が上昇したときなど、その電界で達するべき飽和速度よりも
速い速度に有限時間で達する現象をオーバシュートという。


参考文献

[1] J. J. Sakurai, Jim Napolitano, Modern Quantum Mechanics
   Second Edition, Addison-Wesley, 2011
[2] Jerrold E. Marsden, Anthony Tromba, Vector Calculus
   Sixth Edition, W.H. Freeman and Company, 2012
[3] Charles Kittel, Introduction to Solid State Physics
   Eighth Edition, Wiley, 2004
[4] Ivo Sachs, Siddhartha Sen, James Sexton,
   ELEMENTS OF STATISTICAL MECHNICS With
   an Introduction to Quantum Field Theory and Numerical
   Simulation, Cambridge University Press, 2006